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DrStrange
Senior Member
Re: Teilerbestimmung
Dienstag, 17. Juli 2007, 01:49
Zitat von »Saiya@HPI«
Ich weiß zwar nich, was eine "Paarquersumme" ist, aber für die 11 muss die alternierende Quersumme durch 11 teilbar sein:
121 -> 1 - 2 + 1 = 0 -> 11 | 0 w.A.
MfG
Paarquersumme = alternierende Quersumme
Vertiefender Link (sehr gute Seite, hat mir im Studium immer bestens geholfen):
Matroids Matheplanet
derJoe
Senior Member
Re: Teilerbestimmung
Sonntag, 22. Juli 2007, 06:03
Bei der drei sagt die Regel, dass eine Zahl genau dann durch drei teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch drei teilbar ist.
Durch totale Induktion kannst du dann ja beweisen, dass es somit für alle Zahlen gilt (und somit auch für die Quersumme).
Zu zeigen: n = 3*k + r und Quersumme(n) = 3*l + r für gewisse ganzzahlige k und l, r = 0, 1, 2 (außerdem gilt natürlich l < k für n > 9 und man erhält nach endlich vielen Schritten eine Quersumme kleiner 10)
Für n = 1 stimmt's.
Wenn die Aussage für n gilt, dann auch für n+1, denn:
n + 1 = 3*k + (r + 1) falls r = 0, 1
bzw. n + 1 = 3*(k + 1) + 0 falls r = 2
und, wenn die letzten j Stellen von n 9 sind (j>=0),
Quersumme(n+1) = (3*l + r) - 9*j + 1 = 3*(l - 3*j) + (r + 1) falls r = 0, 1
bzw. Quersumme(n+1) = 3*(l - 3*j + 1) + 0 falls r = 2
Mit der 9 funktioniert es analog.
Außerdem kann man den Beweis auch für andere Basen als 10 verallgemeinern: Bei Basis p erhält man Teilbarkeitsregeln für alle ganzzahligen Teiler q von p - 1 (mit p - 1 = m*q: Quersumme(n+1) = (q*l + r) - (p-1)*j + 1 = q*(l - m*j) + (r+1) wobei die letzten j Stellen p - 1 sind)
Gruß
derJoe