Harten Käse kann man sehr gut einfrieren.
Bei hartem und altem Käse ist es ausserdem idR nicht schlimm wenn er schimmelt. Mal genügt es ihn abzuwischen, mal kann man großzügig drum herum schneiden.

Ich würde den Käse, wenn er in den nächsten Tagen gegessen wird, in Tupperdosen alleine (!) in das oberste Kühlschrank Fach legen.

Das kommt denke ich darauf an, wie schnell ihr die Reste verwenden wollt. Wenn er anfängt zu schimmeln würde ich doch vom Verzehr Abstand nehmen - bei Pilzen ist ja nur ein kleiner Teil an der Oberfläche, der Rest im "Trägermaterial"

Ich würde wohl die schon mal offenen Stücke nach Möglichkeit sauber abschneiden und dann Vakuum-verpacken (mit diesen Einschweißgeräten).
Wenn das nächste Fondue in den nächsten Tagen ansteht -> Kühlschrank. Ansonsten eher Gefriertruhe.
Wenn man den Käse einigermaßen sanft auftaut hatten wir damit bisher keine Probleme, auch geschmacklich nicht.

Also Gruere sagt mir jetzt zu meiner Schande nichts, aber bei Hartkäse wie Emmentaler ist es nach einhelliger Meinung unproblematische wenn man Schimmel großzügig wegschneidet. Bei Weichkäse ist es aber normal ein Fall für den Müll.
Auf die Idee Käse zu gefrieren bin ich noch nie gekommen, der kommt bei uns normal immer so schnell weg.

Warum muss ich jetzt nur an dieses widerliche Zeug denken, dass einer bei mir immer im Unterricht frisst? Eine Käserolle, außen ein paar Lagen Schnittkäse gefüllt mit Frischkäse. ihhhh