Auf welchen Grundmengen arbeitet denn deine Abbildung? R->R oder was anderes?

Ist f(x)=x³ surjektiv auf R? Ich glaube schon, oder gibt es da Widerspruch? Das wäre mein erster Gedanke, per Widerspruch. Oder direkt, du nimmst dir ein bel., aber festes y und zeigst dann, dass dieses (mind) ein Urbild hat. Da dein gewähltes y bel. war wäre der Beweis getan.

Gegeben: f(x) = x³

X heißt Definitionsmenge, Y die Zielmenge von f.

Definition:
f heißt surjektiv, wenn zu jedem y E Y ein x E X existiert mit f(x)=y.

Es sei y E R. Setze x = 3sqrt(y) ("x ist gleich 3. Wurzel von y")
Man erhält x = y, indem man f(x) als y schreibt

--> y = x³

und dann nach x auflöst.

Dann gilt:

f(x) = f[3sqrt(y)] = [3sqrt(y)]³ = y

In Worten:
Du setzt dein "x=" wieder in die Funktion f(x) ein, wenn du nun wieder y erhälst:

--> f ist bijektiv.

Edit:

Allgemein:

Gegeben sei eine Funktion f:x --> y. Dann ist f surjektiv, genau dann wenn gilt:

f ( g (y) ) = y für alle y E Y

In diesem Fall ist g eindeutig bestimmt und heißt die Umkehrfunktion von f.

P.S. So nun sollte es vollständig sein.


Gruß Max Payne

OT: in der guten alten WoW-Gilde Equitis Cerevisiae gab es für solche Aussagen den Rang Mathearsch (oder -spast? ich weiss es nicht mehr genau)