Vektorenrechnung... [letztes Problem ^^]

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palme_kex

God

Vektorenrechnung... [letztes Problem ^^]

lundi 9 mai 2005, 20:11

Aufgabe:
Es gibt 3 Punkte P1(0|0|36), P2(125|350|-2

, P3(-212|878|60).
Ich soll die Länge errechnen von einem Kabel was bei P1 starten über P2 geht und bei P3 endet nur leider habe ich keinen plassen schimme wie ich das anstellen soll.

Vitektim

God

Re: Hilfe bei Vektorenrechnung...

lundi 9 mai 2005, 20:13

Vektor von A zu B bilden
Vektor von B zu C bilden

Dann Wurzel aus x1^2+y1^2+z^2 und das is genau die Länge eines Vektors

palme_kex

God

Re: Hilfe bei Vektorenrechnung...

lundi 9 mai 2005, 20:14

also mit pytagoras oder wie das heist...

edit:
aber wie berechne ich den schnell di enfernung von a nach be ???
einefahc
Xa-Xb=Xc
Ya-Yb=Yc
Za-Zb=Zc

Vitektim

God

Re: Hilfe bei Vektorenrechnung...

lundi 9 mai 2005, 20:18

nein nicht Satz des Pythagoras.

Das ist eine Feste Regel Dei Länge des Vektors also der Betrag &#124

X|y|z)| =Wurzel(x^2+y^2+z^2)

derJoe

Senior Member

Re: Hilfe bei Vektorenrechnung...

lundi 9 mai 2005, 20:22

Euklidische Norm (Länge) eines Vektors a=(a₁,..., a_n) aus R^n:
||a|| = Sqrt[a₁^2 + ... + a_n^2]

Differenz zweier Vektoren a=(a₁,..., a_n), b=(b₁,..., b_n) aus R^n:
a-b = (a₁-b₁,..., a_n-b_n)

Diese beiden Formeln sollten für die Aufgabe ausreichen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Raum
http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum
http://de.wikipedia.org/wiki/Vektor

Gruß

derJoe

edit: Gerade war da aber noch keine Antwort. Bin ich so langsam?

palme_kex

God

Re: Hilfe bei Vektorenrechnung...

lundi 9 mai 2005, 20:22

achso das ist die entfernung vom nullpunkt zu dem punkt im system richtig ???

derJoe

Senior Member

Re: Hilfe bei Vektorenrechnung...

lundi 9 mai 2005, 20:29

Citation de "palme_kex"

achso das ist die entfernung vom nullpunkt zu dem punkt im system richtig ???

Erstmal ist es nur die Norm bzw. Länge eines Vektors, die man dann je nach Aufgabe interpretieren kann, z. B. als Abstand eines Punktes vom Ursprung oder als Abstand zweier Punkte voneinander.
Kommt dann halt darauf an, wie man den Vektor vorher errechnet hat, z. B. als Differenz der Ortsvektoren zweier Punkte.

Gruß

derJoe

palme_kex

God

Re: Hilfe bei Vektorenrechnung... [neues prob]

lundi 9 mai 2005, 22:41

Hier ist noch ne aufgabe:
Es sei V=R³
Untersuche, ob die Vektoren a b und c eine Basis von V bilden.

Ist damit gemeint ob ich untersuchen soll ob dieses Vektoren komplanar sind ???

hurra

God

Re: Hilfe bei Vektorenrechnung... [neues prob]

lundi 9 mai 2005, 22:55

Soweit ich das in Erinnerung habe, soltlest du schaun, ob die drei Vektoren aufeinander senkrecht stehen.

PoRo69

Senior Member

Re: Hilfe bei Vektorenrechnung... [neues prob]

lundi 9 mai 2005, 22:55

Eine Basis bilden sie genau dann, wenn sie Linear Unabhängig sind...wie man das nachweisen kann sollte ja klar sein.

Nachweis Kurzfassung:
Lu genau dann, wenn sich jeder bel. Vektor des Raumes aus diesen drei Vektoren EINDEUTIG kombinieren lässt => Nullvektor muss sich eindeutig kombinieren lassen. D.h. Gleichungssystem aufstellen, lösen (z.B. Gauss Algorithmus). Gibt es genau eine eindeutige Lsg. => Linear unabhängig = > Basis
Mfg PoRo

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palme_kex

God

Re: Hilfe bei Vektorenrechnung... [neues prob]

lundi 9 mai 2005, 23:00

joa thx das wollt ich nur wissen....

palme_kex

God

Re: Vektorenrechnung... [letztes Problem ^^]

lundi 9 mai 2005, 23:16

Aufgabe:
sind diese beieden Vektoren identisch.

g:x=(3|1)+r(-2|3)
g':x=(1|-7)+s(1|-1,5)

ich habe dieses dan gleichgesetzt...

(3|1)+r(-2|3) = (1|-7)+s(1|-1,5)

und dann eben r und s raus bekommen...

r=2
s=-2

Nun stehe ich vor dem Problem nachzuweisen on die beiden identisch sind....

PoRo69

Senior Member

Re: Vektorenrechnung... [letztes Problem ^^]

lundi 9 mai 2005, 23:37

Hi,
mir scheinen das keine Vektoren, sondern Gerade zu sein. Was du da ausgerechnet hast wären die Paramter für den Schnittpunkt. Ob die Geraden identisch sind?
SChau mal die beiden Geradenvektoren an, sind diese lin. abhängig, haste schonmal die erste nötige, nicht aber hinreichende Bedingung für Identität (Paralell können sie ja auch noch sein).
Ob sie wirklich identisch sind? Z.B. Zubringervektor der einen Gerade in die andere einsetzen, und gucken ob dieser Punkt auch auf dieser liegt, und umgekehrt. Dann sollte man das eigentlich schon raushaben, denn 2 Punkte fixieren ja bekanntlich eine Gerade (Zubringer, Schnittpunkt)
Mfg PoRo

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derJoe

Senior Member

Re: Vektorenrechnung... [letztes Problem ^^]

mardi 10 mai 2005, 00:42

Wenn er aber schon jeweils eine eindeutige Lösung für r und s errechnet hat, ist er fertig, da er, wenn er die Werte einsetzt, den einzigen Schnittpunkt erhält.

Gruß

derJoe

PoRo69

Senior Member

Re: Vektorenrechnung... [letztes Problem ^^]

mardi 10 mai 2005, 00:54

stimmt :-)

Zu Verkaufen: Cuplex, Airplex 240 (orginal verpackt) bei Interesse Pm

derJoe

Senior Member

Re: Vektorenrechnung... [letztes Problem ^^]

mardi 10 mai 2005, 02:10

Noch ein paar Ergänzungen zu linearer (Un-)Abhängigkeit, Basen und Erzeugendensystemen in endlichdimensionalen Vektorräumen:

Endlich viele Vektoren v₁,..., v_n aus dem K-Vektorraum V sind Erzeugendensystem von V (aber _nicht_ zwingend linear unabhängig), wenn sich jeder Vektor w aus V als Linearkombination
w = a₁v₁ +...+ a_nv_n
darstellen lässt, mit a_i aus K.

v₁,..., v_n sind genau dann linear unabhängig, wenn aus
0 = a₁v₁ +...+ a_nv_n, a_i aus K
stets folgt, dass a_i=0 für alle i=1,...,n

v₁,..., v_n heißen linear abhängig, wenn sie nicht lin. unabhängig sind, d. h. es gibt Darstellung
0 = a₁v₁ +...+ a_nv_n, a_i aus K,
wobei mindestens einer der Koeffizienten a_i nicht 0 ist.

v₁,..., v_n heißen Basis von V, wenn sie sowohl lin. unabhängig als auch Erzeugendensystem von V sind.
Die Anzahl der Elemente einer Basis von V nennt man die Dimension von V.

Im R³ sind drei Vektoren v₁, v₂, v₃ automatisch Basis des R³, wenn sie lin. unabhängig sind.
Das heißt, du musst prüfen, ob die Gleichung:
0 = a₁v₁+a₂v₂+a₃v₃, mit reellen a_i.
eine Lösung hat, bei der mindestens ein a_i ungleich 0 ist.

Weitere Informationen zu Vektoren und Vektorräumen findest du u. a. bei den Wikipedia-Artikeln, auf die ich oben verlinkt habe.

Gruß

derJoe

Thomas_Haindl

God

Re: Vektorenrechnung... [letztes Problem ^^]

mardi 10 mai 2005, 02:45

Citation de "derJoe"

v₁,..., v_n sind genau dann linear unabhängig, wenn aus
0 = a₁v₁ +...+ a_nv_n, a_i aus K
stets folgt, dass a_i=0 für alle i=1,...,n

wenn ich mich recht erinnere, war das genau dann der Fall wenn die Determinante der Matrix gebildet aus den Spaltenvektoren v_i ungleich Null ist.

greez from the Beach@30°C
mfg, Thomas

derJoe

Senior Member

Re: Vektorenrechnung... [letztes Problem ^^]

mardi 10 mai 2005, 03:08

Stimmt, da gibts noch mehrere äquivalente Aussagen, wie z. B.

A invertierbar
<=> det(A) != 0
<=> Rang(A) = n
<=> Spaltenvektoren sind lin. unabhängig

bei einer nxn-Matrix.

Wahrscheinlich gibt es auch noch mehr, die mir aber jetzt nicht einfallen.

Gruß

derJoe
der jetzt auch lieber am Strand wäre

Thomas_Haindl

God

Re: Vektorenrechnung... [letztes Problem ^^]

mardi 10 mai 2005, 12:50

Citation de "derJoe"

Stimmt,

TNX (dann funktioniert dieser alternde Denkapparat doch noch)

Citation

da gibts noch mehrere äquivalente Aussagen, wie z. B.

A invertierbar
<=> det(A) != 0

Weil's gerade dazu passt - an alle zukuenftigen Informatiker und solche die "das Zeug mal eben in den PC hacken wollen":

Die Regel von Sarrus laesst sich wunderbar rekursiv formulieren.

Fuer Matrix-Inversionen und lineare Gleichungssysteme findet mann in jedem zweiten Schulbuch diese obsolete Determinanten-Regel. Das Ding sollte man besser gleich wieder vergessen (mehr als n! Rechenoperationen).
In der Computer-Numerik wird Pivotisiert (siehe Gauss-Jordan).

Fuer den Spezialfall LGS mit positiv definiter Koeffizienten-Matrix gibt's auch noch den Cholesky - der braucht noch weniger Rechenoperationen. Der Spezialfall ist nicht so speziell, weil das bei Finite-Elemente Systemen (duenn besetzte Diagonal-Matrizen) eher der Normalfall ist.

BTW: Sehr viele, sehr gute, ausgetestete und stabile Mathematik-Bibliotheken fliegen auf TU-Rechnern herum. I.d.R. ist das Zeug in Fortran geschrieben - es ist kein Nachteil, wenn man Fortran(77) wenigstens lesen kann.

mfg, Thomas