Hab hier noch mal was aus einer Vorlesungsmitschrift Lineare Algebra II rausgekramt (ich hoffe, man kann es auch ohne die mathematischen Symbole einigermaßen lesen):

Sei p: V -> V eine C-lineare Abbildung des unitären Vektorraums (VR) V, W "Teilmenge" V ein Untervektorraum (UVR). Man nennt p orthogonale Projektion auf W, wenn gilt:
1. p^2 = p (idempotent)
2. Kern(p) = "Senkrechtraum zu W". (um exakt zu sein, sollte man das Gleichzeichen hier durch isomorph ersetzen)

Insbesondere existiert immer genau eine orthog. Proj. auf W.

Konstruieren kann man diese Abbildung, indem man den VR V als direkte Summe des UVR W und des Senkrechtraumes zu W (i. f. Wsenk) auffasst:
V=W(+)Wsenk
("(+)" soll hierbei das Zeichen für die direkte Summe darstellen)

Dann definiere man: p(w₁,w₂) := (w₁,0) mit w₁ aus W und w₂ aus Wsenk.

Spontan würde ich aber sagen, dass es bei orthogonalen Projektionen i. A. nicht möglich ist, eine Diagonalmatrix zu erhalten, da die entstehende Abb. i. A. nicht bijektiv ist.
Wählt man aber eine Orthonormal-Basis (ON-Basis) von W, so erhält man eine Matrix, bei der zumindest die ersten m Spalten und Zeilen eine Diagonalmatrix darstellen (m = dim(W)), da p eingeschränkt auf W die Identitätsabbildung darstellt. Die Existenz einer ON-Basis von W folgt direkt aus dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren, das ein mögliches Konstruktionsverfahren für eine solche Basis beschreibt, für das man lediglich eine beliebige Basis des UVRs W benötigt.

Ich hoffe, dass es zumindest ein bisschen verständlich geworden ist. Falls nicht, sag Bescheid dann erläutere ich es gerne noch mal genauer. Vielleicht finde ich auch noch irgendwo ein Beispiel dazu.

Gruß

derJoe

Okay, habe hier noch 2 Beispiele gefunden (Quelle: Repetitorium der Linearen Algebra Teil 1, Wille 2003):

(1) Im R^2 sei die lineare Abbildung p_a die senkrechte Projektion auf die durch y = ax gegebene Gerade. Man gebe für eine geschickt gewählte Basis B die Matrix M_B von p_a an. (In der Quelle ist außerdem noch nach der Basis bezüglich der kanonischen Basis gefragt. Die Lösung hierzu kann ich bei Bedarf noch hinzufügen.)

Man wählt zunächst die Basis B so, dass der erste Vektor in Geradenrichtung zeigt und der zweite Vektor senkrecht dazu steht, also z. B.:
B={(1,a) , (-a,1)}

M_B wird spaltenweise ermittelt (leider kann ich hier keine Spaltenvektoren schreiben):
p_a((1,a)) = (1,a) = 1 * (1,a) + 0 * (-a,1) also ist die erste Spalte (1,0)
p_a((-a,1)) = (0,0) = 0 * (1,a) + 0 * (-a,1) also ist die zweite Spalte (1,0) = (0,0).
Insgesamt erhält man also M_B = ( (1,0) , (0,0) ).

(2) Im R^3 sei die lineare Abbildung p gegeben als senkrechte Projektion auf die Ebene E: x + y + z = 0.
Man gebe für eine geschickt gewählte Basis B die Matrix M_B an. (wie oben kann ich die Berechnung für die kanonische Basis bei Bedarf nachreichen.)

Wir wählen als Basis
B = { B₁, B₂, B₃ } = { (1,1,1), (-1,0,1), (1,-2,1) }
Dies sind drei Vektoren, die paarweise senkrecht stehen, wobei der erste Vektor ein Normalenvektor der gegebenen Ebene ist, die anderen beiden daher in E liegen.
Somit ist
p(B₁) = 0,
p(B₂) = B₂,
p(B₃) = B₃

und die Koordinatenvektoren der Bilder ergeben spaltenweise die Matrix M_B. Man erhält daher:

M_B = ( (0,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ) (Also eine Matrix bei der die unteren zwei Spalten und Zeilen die 2-dim. Einheitsmatrix darstellen und die erste Spalte und Zeile aus Nullen bestehen.

Gruß

derJoe

Edit: Die Matrix bezüglich der kanonischen Basis erhält man in beiden Beispielen aus der berechneten Matrix mittels eines Basiswechsels. Informationen hierzu findest du z. B. bei http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_(Mat…ren_Abbildungen
und http://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum).