In der Bedingung steht, dass das Rad des Flugzeugs sich mit der gleichen Geschwindigkeit dreht, wie sich das Laufband bewegt. Beim Versuch eine Drehgeschwindigkeit, deren Richtung sich ständig ändert, mit einer Translationgeschwindigkeit zu vergleichen, bin ich auf mehrere Möglichkeiten gekommen:
1. Fall: Der Frager meint die Geschwindigkeit der Radnabe (= die Geschwindigkeit des Flugzeugs).
2. Fall: Man nimmt den Betrag der Geschwindigkeit eines Punktes ganz außen am Rad, für die Richtung gibt es im 1-dimensionalen System zwei Möglichkeiten:in Flugrichtung und entgegen.(eindimensional heißt, es reicht die Angabe einer Koordinate aller Punkte aus um alle Konfigurationen des Systems vollständig zu beschreiben; wenn das Flugzeug abhebt und man 2 Dimensionen betrachten müsste, ist das Problem bereits gelöst )

Weiterhin wird keine Angabe gemacht in welchem Bezugsystem die Geschwindigkeiten angegeben sind. Beim Laufband ist wohl eindeutig die Geschwindigkeit bezüglich der Erde gemeint, beim Rad ist es nicht eindeutig. Beim Flugzeug ist die Geschwindigkeit bezüglich der Erde interessant, denn die ist identisch mit der Geschwindigkeit bezüglich der Luft und die ist entscheidend für den Auftrieb.(Annahme: Kein Wind; der "Wind" der durch die Triebwerke entsteht ist vernachläßigbar).

Die Schubkraft ist für kleine Geschwindigkeiten näherungsweise unabhängig von der Geschwindigkeit, also auch unabhängig vom Bezugssystem.

1. Fall:
Unter der Annahme, die Geschwindigkeit des Rades (=Geschwindigkeit des Flugzeugs) ist im Bezugsystem der Erde angegeben, lautet die Bedingung:

v_Laufband (bezüglich Erde) = - v_Rad (bezüglich Erde) = - v_Flugzeug (bez. Erde)

In der Praxis bedeutet das, dass sich das Flugzeug ganz normal startet, wenn die Reibungskraft nicht Geschwindigkeitsabhängig ist. Das Rad dreht sich doppelt so schnell wie normal.

Ist die Geschwindigkeit des Rades (= die Geschwindigkeit des Flugzeugs) im Bezugsystem des Laufbandes angegeben (das ist der Fall wenn man die Geschwindigkeit mit dem Rad-Tacho des Flugzeugs messen würde), gilt für die Geschwindigkeit im Erdsystem:

v_Rad(bez. Erde) = v_Rad(bez. Laufband) + v_Laufband (bez. Erde)
=>
v_Rad(bez. Laufband) = v_Rad(bez. Erde) - v_Laufband (bez. Erde) (1)


Da die Geschwindigkeit des Rads im System des Laufbands gleich der des Laufbands im Erdsystem sein soll, ist die Bedingung:

v_Laufband (bezüglich Erde) = - v_Rad (bez. Laufband)
Umrechnen auf Erdbezugssystem:
(1) => v_Laufband (bez. Erde) = - v_Rad (bez. Erde) + v_Laufband (bez. Erde)
0 = - v_Rad (bez. Erde) = - v_Flugzeug (bez. Erde)

Wie man sieht bewegt sich das Flugzeug nicht.
Wenn die Reibung nicht geschwindigkeitsabhänging ist, lautet die Bewegungsgleichung mit Anfangsbedingungf Reibungskraft, F schubkraft v = v_flug (bez Erde))
dsolve({m*v'(t)=-f + F ,v(0)=0},v(t));
Als Lösung kommt eine lineare Funktion v(t)= const * (f-F)*t raus, v(t) wird nur dann für alle Zeiten t gleich 0 wenn f = F (in der Realität eher nicht der Fall). Andernfalls, oder wenn gar keine Reibung vorhanden ist, führt die Bedingung zu einem Widerspruch, das Laufband müsste sich "schneller als unendlich schnell" bewegen, damit das Kräftegleichgewicht erfüllt ist. In dem Fall ist das Laufband nicht einmal theoretisch realisierbar. Die Frage, ob das Flugzeug abhebt, erübrigt sich, die (idealisierten) Annahmen sind nicht konsistent.
Ist die Reibungskraft proportional zu v ..... selber ausrechnen (e-Funktion, keine Lösung für alle t)

2.Fall:
Sieht man in der Geschwindigkeit des Rades die betragsmäßige Geschwindigkeit eines Punktes aussen am Rad (in Richtung entgegen Flugrichtung) dann ist die Radgeschwindigkeit(bezüglich Laufband) = 0 , d.h. das Rad rollt ganz normal ab. Bremst der Pilot bis zum Stillstand des Rades(bezüglich Flugzeug) und das Rad rutscht durch, siehe Fall 1.

Ist die Radgeschwindigkeit bezüglich des Laufbands gemeint lautet die Bedingung aus der Aufgabenstellung:

v_Rad (bez. laufband) = - v_laufband (bez. Erde)

v_Rad (bez laufband) ist laut Annahme oben 0, also ist v_laufband (bez Erde) = 0 , die Annahme oben und die Bedingung aus der Aufgabenstellung sind äquivalent, es gibt unendlich viele Lösungen für v_Flugzeug (kommt ja nicht in der Gleichung vor), das Laufband bewegt sich nicht. Der Fall ist übrigens trivial (für die, die Rechnung nicht verstanden haben)
Das Flugzeug kann ganz normal starten.

Betrachtet man die Radgeschwindigkeit bezüglich der Erde:
Bedingung aus der Aufgabe:
v_Rad (bez. Erde) = - v_laufband (bez. Erde)
Annahmen oben:
v_Rad (bez. Laufband) = 0
umrechnen in Koordinatensystem Erde:
v_Rad (bez. Erde) + v_Laufband (bez. Erde) = v_Rad (bez Laufband) = 0
v_Rad (bez. Erde) = - v_Laufband (bez Erde)
einsetzen in Bedingung aus der Aufgabe:
gleich wie oben

Das ganze kann man noch unter der Transformation v_Rad(bez, Flugzeug) -> - v_Rad (bez, Flugzeug) (Die andere Richtung). betrachten.

Betrachtet man die Radgeschwindigkeit bezüglich des Flugzeuges ergibt sich das gleiche wie beim 1.Fall vielleicht anderes vorzeichen ...


Wer mit meinen idealisierten Annahmen nicht zufrieden ist, möge selber rechnen (Hinweis: die Formel für die Luftreibung F prop v^2 ist auch nur eine Nährerung).
Mir sind hoffentlich keine schwerwiegenden Denk- oder Vorzeichenfehler passiert.