Hallo zusammen,

ja, das gelbe Rechenbuch ist zwar ganz nett, aber ist halt kein Lehr, sondern ein Übungsbuch. Außerdem bezweifle ich, dass es für die Schule wirklich geeignet ist. Wenn ich auch mal ein Buch empfehlen darf:

Merzinger Wirth Repetitorium der Höhrene Mathematik
ISBN: 3-923923-33-3

Ist zwar auch kein wirkliches Lehrbuch, und geht auch weit über den Schulstoff hinaus, aber das ist eine Anschaffung, die sich lohnt wie ich finde.

Mfg PoRo

Edit:
Achja, das mit dem Bruchrechnen bei Grenzwertbildungen ist so eine Sache. Funktioniert in der Regel gut bei gebrochen Rationalen Funktionen. In anderen Fällen ist man besser beraten andere Wege zu gehen: Probleme wie lim->0 von x^x oder Grenzwert gegen Null von sin(1/x) und sin(x)/x lassen sich über "Bruchrechnen" sicher nicht lösen.

Folge
Eine Folge ist i. d. R. eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in eine Zielmenge X (z. B. die reellen Zahlen).

Diese Abbildung ist in deinem Fall z. B. durch die Vorschrift n -> 2+3/n^2:=C_n gegeben, das heißt jeder natürlichen Zahl n wird die reelle Zahl C_n=2+3/n^2 zugeordnet.

Konvergenz und Grenzwert einer Folge
Eine Folge reeller Zahlen (a_n) konvergiert gegen den reellen Grenzwert a, falls zu jedem reellen e>0 eine natürliche Zahl N existiert, so dass für alle natürlichen Zahlen n mit n>N gilt: &#124;a_n-a&#124;<e.
Das heißt, dass man einen noch so kleinen Abstand e zum Grenzwert a wählen kann und trotzdem ein N findet, ab dem sich alle a_n nur noch im Bereich a-e bis a+e bewegen.
In dem Fall schreibt man lim a_n=a oder a_n->a.

Wählt man in deinem ersten Beispiel (a=2) etwa e=0,03, so gilt für alle n>10 (also N=10): &#1242+3/n^2) - 2&#124; = &#124;3/n^2&#124; < 0,03.

Natürlich hat man normalerweise keinen Grenzwert gegeben, weshalb es einige Regeln zur Konvergenz gibt. So gilt zum Beispiel (*):
(a_n) und (b_n) reelle Folgen mit Grenzwerten a und b, dann:
- (a_n+b_n) -> a+b
- (a_n*b_n) -> a*b (insbesondere (c*a_n) -> c*a für reelle c)
- (a_n^(-1)) -> a^(-1), falls a != 0 und a_n != 0 für alle n
- (&#124;a_n&#124 -> &#124;a&#124;

Im ersten Beispiel kann man den Grenzwert also bestimmen wenn man weiß, dass 1/n gegen 0 konvergiert (*).
Dann konvergiert 1/n^2 = (1/n)*(1/n) gegen 0*0 = 0,
3*(1/n^2) gegen 3*0 = 0
und 2+3*(1/n^2) gegen 2+0 = 2

Im zweiten Beispiel sieht die Sache ein wenig anders aus, da n, 3*n, 3*n+1, (-1)^n, 4*n und 4*n+(-1)^n alle nicht konvergieren. Hier macht man sich zunutze, dass man den Bruch (3*n+1) / (4*n+(-1)^n) für jede natürliche Zahl n schreiben kann als (n*(3+1/n)) / (n*(4+((-1)^n)/n))
= (3+1/n) / 4+((-1)^n)/n
Nun wissen wir für die Folge 1/n bereits, dass diese gegen 0 konvergiert, also konvergiert 3+1/n gegen 3+0=3.
Das (-1)^n/n ebenfalls gegen 0 konvergiert folgt aus &#124-1)^n/n&#124;=1/n und 1/n -> 0. Somit konvergiert 4+(-1)^n/n gegen 4+0=4.
Insgesamt konvergiert also (3+1/n) / 4+((-1)^n)/n gegen 3/4

Allgemein ist es oft hilfreich, den Grenzwert durch Einsetzen einer "großen" Zahl für n anzunähern und anschließend nachzuweisen. Ausklammern, Kürzen, etc. sind dabei häufig sehr hilfreich.

Wie du jetzt auf "Aufleiten" und "Ableiten" kommst ist mir allerdings ein Rätsel, da es praktisch nichts damit zu tun hat. ???
Binomische Formeln kommen zwar in so ziemlich jedem Bereich mal vor, aber zur Konvergenz fällt mir jetzt keine Aufgabe ein, wo man sie braucht.

Zitat von »powerslide«

naja .. das mit der grenze muss nicht unbedingt immer gegen unendlich gehen.. ... was man sehen will ist ob die funktion stetig ist,

Es ist zwar möglich, die Steigkeit einer reellen Funktion über Konvergenzen zu definieren, das heißt aber nicht, dass jede Konvergenzuntersuchung auch etwas mit Stetigkeit zu tun haben muss

Zitat von »powerslide«

auf deutsch das man sie mit einem stift ohne absetzen zeichnen kann.. die funktion hat also keine sprünge und ist für alle werte definiert.

Bei jeder Abbildung, egal ob stetig oder nicht, muss jedem Element des Definitionsbereiches genau in Element des Zielbereiches zugeordnet werden, d. h. die Funktion muss sowieso für alle Werte definiert sein.
Die Definition der Stetigkeit mit Hilfe des "Zeichnens ohne Absetzen" ist zwar für die meisten Fälle ausreichend aber nicht mathematisch exakt und z. B. bei Stetigkeitsuntersuchungen in einzelnen Punkten häufig absolut unzureichend.
Mag sein, dass dir das klar war, aber ich wollte verhindern, dass Katzenfreund sich Halbwahrheiten merkt

Gruß

derJoe

(*): Beweise hierzu werden bei Bedarf nachgeliefert.

Edit: Zum "Auf- und Ableiten" hier erstmal nur 2 Links:
http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung
http://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung
Allerdings wird zumindest "Aufleiten", also das Finden einer Stammfunktion, sehr wahrscheinlich kein Stoff der Stufe 11 gewesen sein.

Zitat von »Katzenfreund«

danke!
Ich will nicht behaupten, dass ich in den letzten beiden Matheblöcken viel verstanden habe, aber werden folgen nicht eigentlich sowieso nur als nicht verbundene Punkte dargestellt?

Bei Folgen reller Zahlen kann man das so darstellen, bringt aber i. d. R. nicht viel.

Zitat von »Katzenfreund«

Was ist n im Fall: n² ? Müsste doch eigentlich fast Null * fast Null= Null sein, oder? (ich streite mich nicht um 10 Nachkommastellen).

Ich weiß nicht genau, was du meinst. Die Folge a_n=n geht gegen unendlich, konvergiert somit nicht in den reellen Zahlen. Für a_n=n^2 gilt dasselbe

Zitat von »Katzenfreund«

Und: Was ist (2 / n)² (also nach der klamma quad.)

Falls du den Grenzwert der Folge a_n=(2 / n)² suchst, kannst du ihn ähnlich wie bei deinem ersten Beispiel bestimmen:
2/n -> 0
=> (2/n)^2 = (2/n) * (2/n) -> 0 * 0 = 0

Gruß

derJoe

Zitat von »Katzenfreund«

Was ist n im Fall: n² ? Müsste doch eigentlich fast Null * fast Null= Null sein, oder? (ich streite mich nicht um 10 Nachkommastellen).

Und: Was ist (2 / n)² (also nach der klamma quad.)

Ist doch auch so

Zitat von »Bulch«

Ist doch auch so

Was ist doch auch so? Etwa, dass n^2 gegen 0 konvergiert?

Abgesehen davon machte die Frage absolut keinen Sinn und lässt sich daher nicht wirklich mit einem "ja stimmt schon" beantworten

Gruß

derJoe

4n / 2n + 1   +   (1/10)^n auf 2

durch n teilen ergibt

4 / 2 + 1/n + (1/10^n)/n

Betrachtung für n gegen null;
4 / 2 + verdammt viel + verdammt viel = 2+ 2 * verdammt viel
=> geht gegen unendlich

Betrachtung für n gegen unendlich:
4 / 2 + quasi nix + quasi nix = 2

Zitat von »Rotring«

4n / 2n + 1   +   (1/10)^n auf 2

durch n teilen ergibt

4 / 2 + 1/n + (1/10^n)/n

Ansatzfehler.
Das würde 4/2n + 1/n + (1/10^n)/n ergeben
Ist die Aufgabenstellung oben so korrekt?

Wenn der Grenzwert 2 sein sollte, so würde ich eher 4n/2 +1 +... erwarten

denn so geht der Grenzwert nach 3
4n/2n => 2
1 => 1
(1/10)^n => 0

argh, net aufgepasst, thx