Teilerbestimmung

thetruephoenix

God

Monday, July 16th 2007, 5:38pm

1

Ich versuche herauszufinden, ob beliebig große, natürliche Zahlen durch bestimmte andere Zahlen teilbar sind.

Für die Zahlen 1 bis 10 (mit Ausnahme der 7) habe ich schon Theorien für die ich teilweise Beweise für ihre Funktion besitze.

Für die Teiler 3 und 9 komme ich jedoch nicht auf einen brauchbaren Beweis.

Die Theorie:
Wenn die Quersumme der Quersumme der Quersumme (ad infinitum) einer beliebig großen Zahl ein Vielfaches von 3 ist, so ist diese Zahl ohne Rest durch 3 teilbar. Ist die Quersumme ad infinitum 9, so ist sie zusätzlich gerade durch 9 teilbar.

Ich habe bisher kein Gegenbeispiel finden können, jedoch aber auch wie gesagt keinen Beweis. Weiß da jemand weiter?

Ich wäre außerdem an einer Teilerregel für die 7 interessiert.

(14:03:23) (Cerbis_Latran) Dude, uhm. Do me a personal favor?
(14:03:51) (Eliza) what is it?
(14:04:04) (Cerbis_Latran) Never kill anyone. You'd enjoy it far too much.

Clark

God

Re: Teilerbestimmung

Monday, July 16th 2007, 5:55pm

2

Für die Sieben gibt es soweit ich weiss keine Teilerregel.

Bei der drei sagt die Regel, dass eine Zahl genau dann durch drei teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch drei teilbar ist.
Durch totale Induktion kannst du dann ja beweisen, dass es somit für alle Zahlen gilt (und somit auch für die Quersumme).

Die neun läuft analog zur drei.

c++: The power, elegance and simplicity of a hand grenade.

DrStrange

Senior Member

Re: Teilerbestimmung

Monday, July 16th 2007, 5:56pm

3

Die wichtigsten Teilbarkeitsregeln

Durch 2: Wenn die Zahl gerade ist.
Durch 3: Wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist.
Durch 4: Wenn die Zahl gebildet aus den letzten 2 Ziffern durch 4 teilbar ist.
Durch 5: Wenn die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist.
Durch 6: Wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist.
Druch 8: Wenn die Zahl gebildet aus den letzten 3 Ziffern durch 8 teilbar ist.
Durch 9: Wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.
Durch 11: Wenn die Paarquersumme durch 11 teilbar ist.
Durch 12: Wenn die Zahl durch 3 und durch 4 teilbar ist.
Durch 15: Wenn die Zahl durch 3 und durch 5 teilbar ist.
Durch 25: Wenn die Zahl gebildet aus den letzten beiden Ziffern durch 25 teilbar ist.
Durch 125: Wenn die Zahl gebildet aus den letzten drei Ziffern durch 125 teilbar ist.

Für 7 ist mir keine bekannt.

When you come across a big kettle of crazy, it's best not to stir it.

Muhahahahahaha, pwned du kacknoob!
*gockel gockel boaarrcck*

futureintray

God

Re: Teilerbestimmung

Monday, July 16th 2007, 6:28pm

4

wozu braucht man das?
gymnasium?
:o

Bigdaddy

Full Member

Re: Teilerbestimmung

Monday, July 16th 2007, 6:39pm

5

Quoted from "futureintray"

wozu braucht man das?
gymnasium?
:o

Um es nachher wieder zu vergessen..... (War zumindest bei mir so -.-)

Sodbrennen

Senior Member

Re: Teilerbestimmung

Monday, July 16th 2007, 7:05pm

6

Quoted from "futureintray"

wozu braucht man das?
gymnasium?
:o

Manche Leute haben sowas tatsächlich als Hobby.

thetruephoenix

God

Re: Teilerbestimmung

Monday, July 16th 2007, 8:00pm

7

Quoted from "AllahuAkbar"

Manche Leute haben sowas tatsächlich als Hobby.

Bingo.

(14:03:23) (Cerbis_Latran) Dude, uhm. Do me a personal favor?
(14:03:51) (Eliza) what is it?
(14:04:04) (Cerbis_Latran) Never kill anyone. You'd enjoy it far too much.

Eumel

God

Re: Teilerbestimmung

Monday, July 16th 2007, 10:15pm

8

Ich weiß zwar nich, was eine "Paarquersumme" ist, aber für die 11 muss die alternierende Quersumme durch 11 teilbar sein:

121 -> 1 - 2 + 1 = 0 -> 11 | 0 w.A.

MfG

"I've always said, the Web is the sum of all human knowledge plus porn.", Ron Gilbert
UltraStar Manager 1.7.2 | Infos zu meinem PC | .o0 DeathSpank 0o.

Seppel-2k3

God

Re: Teilerbestimmung

Monday, July 16th 2007, 11:13pm

9

warum ist 1-2+1 = 0 ??? oder wo is mein (denk?)fehler?

www.sysprofile.de

hurra

God

Re: Teilerbestimmung

Monday, July 16th 2007, 11:15pm

10

Quoted from "Seppel^"

warum ist 1-2+1 = 0 ??? oder wo is mein (denk?)fehler?

1-2=-1
-1+1=0

DrStrange

Senior Member

Re: Teilerbestimmung

Tuesday, July 17th 2007, 1:49am

11

Quoted from "Saiya@HPI"

Ich weiß zwar nich, was eine "Paarquersumme" ist, aber für die 11 muss die alternierende Quersumme durch 11 teilbar sein:

121 -> 1 - 2 + 1 = 0 -> 11 | 0 w.A.

MfG

Paarquersumme = alternierende Quersumme

Vertiefender Link (sehr gute Seite, hat mir im Studium immer bestens geholfen):

Matroids Matheplanet

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pharao

Moderator

Re: Teilerbestimmung

Tuesday, July 17th 2007, 2:34am

12

wobei 121 ein ungeschickes Beispiel ist

man fängt nämlich bei der geringsten Stelle (also rechts) an.
also altquer von 123 = 3-2+1 =2

Gute work-live-balance ist, wenn man von seinem Privatleben erschöpfter ist als von der Arbeit.

derJoe

Senior Member

Re: Teilerbestimmung

Sunday, July 22nd 2007, 6:03am

13

Quoted from "Clark"

Bei der drei sagt die Regel, dass eine Zahl genau dann durch drei teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch drei teilbar ist.
Durch totale Induktion kannst du dann ja beweisen, dass es somit für alle Zahlen gilt (und somit auch für die Quersumme).

Zu zeigen: n = 3*k + r und Quersumme(n) = 3*l + r für gewisse ganzzahlige k und l, r = 0, 1, 2 (außerdem gilt natürlich l < k für n > 9 und man erhält nach endlich vielen Schritten eine Quersumme kleiner 10)

Für n = 1 stimmt's.

Wenn die Aussage für n gilt, dann auch für n+1, denn:
n + 1 = 3*k + (r + 1) falls r = 0, 1
bzw. n + 1 = 3*(k + 1) + 0 falls r = 2
und, wenn die letzten j Stellen von n 9 sind (j>=0),
Quersumme(n+1) = (3*l + r) - 9*j + 1 = 3*(l - 3*j) + (r + 1) falls r = 0, 1
bzw. Quersumme(n+1) = 3*(l - 3*j + 1) + 0 falls r = 2

Mit der 9 funktioniert es analog.

Außerdem kann man den Beweis auch für andere Basen als 10 verallgemeinern: Bei Basis p erhält man Teilbarkeitsregeln für alle ganzzahligen Teiler q von p - 1 (mit p - 1 = m*q: Quersumme(n+1) = (q*l + r) - (p-1)*j + 1 = q*(l - m*j) + (r+1) wobei die letzten j Stellen p - 1 sind)

Gruß

derJoe